微分方程与线性代数,2.7:拉普拉斯变换:一阶方程
从系列中:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
变换线性微分方程中的每一项,生成一个代数问题。然后你可以把代数解转换回ODE解,y (t).
好的。这是拉普拉斯变换的开始。这需要不止一个短视频。但是这集视频我要讲的是一阶方程,那里的步骤很简单,很快。然后是二阶方程。拉普拉斯变换从现在开始。
我用大写字母表示小f的拉普拉斯变换,一个关于t的函数,这个变换是大写f,一个关于s的函数,你会看到s出现在哪里。或者如果这是我要找的解,y (t)它的变换自然称为y (s)这就是我们想要的,我们想要求出y,我们知道f。
我能举个例子吗?首先告诉你什么是拉普拉斯变换。假设函数是f (t)这是变换。乘以e ^ (- st)从0到∞积分。0到无穷。非常重要的。函数直到t = 0才开始,直到t =∞。
积分时,t消失了,但s还在。我有一个关于s的函数,我要举个例子。求拉普拉斯变换就是做积分。你不会惊讶于我们知道的好的函数是那些我们可以做积分和发现变换的函数,并做出一个漂亮的变换表。
我们知道的第一个函数是指数函数。对于这个函数,我要计算它的变换。那我该怎么做?我必须从0到无穷积分,你可能会说从0到无穷很难,但这实际上是我的函数中最好的,也就是e ^ at。这就是函数乘以e ^ (- st) dt。
好的。我可以做这个积分,因为它们合起来就是e ^ (a - st)我可以把它们合起来变成e ^ (a - st)我积分得到e ^ (a - st)除以a - s,这就是它的积分。因为我这里只有这个。对指数积分,只要除以这里的指数。我把t =∞和t = 0代入。t =∞,从0到∞。好的。
无限大比较好。这很简单。我只看大于a的s s大于a意味着这个指数递减到0。它在t =∞时趋于0。所以在t =∞时,积分的上限是0。所以我只需要减去下限。看看多漂亮。现在代入t = 0。然后它就变成了1。
这是一个下限,所以它有一个负号。所以它就是1除以,负号将s - a翻转,这是世界上最重要的拉普拉斯变换。记住,函数是in到at的。变换是关于s的函数。原始函数依赖于t和参数a,结果依赖于s和参数a。
工程师会说,这是指数。增长率是a,在变换中,记住,这是变换。这是f (x)的变换,在变换中,我看到一个极点,这叫做极点,在s = a时,1/0是一个极点。
我并不感到惊讶。所以答案是在s = a时爆炸,当然。如果s = a,那么这是1从0到∞的积分,它是无穷。所以看到杆子出现我并不惊讶。它正好出现在指数a处,但这是一个很好的变换。好的。
我还需要做另一个,哦,不。我已经可以解出方程了。我们从方程dy / dt - ay = 0开始。哦,我可以让0的拉普拉斯变换为0,很安全。y的拉普拉斯变换是大写的y但是这个的变换是什么?哦,我还要再做一个变换。
我希望导数的变换dy / dt,和y的变换有关,所以这个的变换是∫e ^ (- st) dt,从0到∞,不管它是什么。这就是变换。所以这个拉普拉斯变换。
现在我可以用这个积分做什么呢?这一步可以追溯到微积分的开始。但是很容易忘记。当你看到积分里面有一个导数,你会想,我可以分部积分。我可以对这一项积分然后对这一项求导。这就是分部积分的作用。它把导数从这个移到这个没有问题的地方。
你们还记得当我这样做的时候有一个负号吗?从0到∞积分,导数出来了,就是y (t)求导到这里,也就是- se ^ (- st) dt。很好。还记得分部积分法中,还有一项来自于y乘以e ^ (- st)吗?这是ye ^ (- st)在0到无穷处。好的。
我已经分部积分了。一个非常有用,强大的东西,不仅仅是一个把戏。好的。现在,我能认出其中的一些吗?这是负的负的,没问题。我提出,s是常数。把它提出来,s,现在,当我提出来的时候还剩下什么?我有∫ye ^ (- st) dt。这就是y的拉普拉斯变换,就是大写的y。
在这里写上等号。我把0写小一点,把它移开。好的。sY (s)所以这一项的形式很好。当你对一个函数求导时,你用s乘以它的拉普拉斯变换,这是规则。对函数求导,将拉普拉斯变换乘以s,如果有两个导数,就要乘以s两次。一件容易的事。
这就是拉普拉斯变换有效的原因。但现在,这是最后一项。Y(∞)和e ^ (- st) (t =∞)算了吧。所以我只要减去y(0)乘以e ^ (- st)(0)也就是1。E的0次方是1。所以你看到初始条件进入变换了吗?就像,太棒了。
我们有y的变换,所有这些都是变换。这是我们求出来的dy / dt的变换。我为什么要这样做?因为我打算对方程中的每一项进行变换。
用拉普拉斯变换有两个步骤。一个是计算一些像这样的变换,还有一些像这样的规则。这是准备步骤。这是通过观察这些积分得来的。
然后为了使用它们,我要对每一项做拉普拉斯变换。我有一个方程。对每一项做拉普拉斯变换。我得到了另一个方程。所以它的拉普拉斯变换是sY (s) - y (0)这是这部分的拉普拉斯变换。
它的拉普拉斯变换是- a,一个常数,Y (x) 0的拉普拉斯变换是0。你知道我们做了什么吗?我已经得到了一个微分方程和一个代数方程。这就是拉普拉斯变换的意义,把微分方程,导数变成乘法,代数。
所有的项都变成了这个。现在,这是第一步。变换每一项。为每个s做一个代数问题,我们把微分方程中的时间t,变成了拉普拉斯变换中的s。
现在解出来。我要怎么解呢?把y(0)放到右边。然后是Y (s)乘以(s - a)除以(s - a)得到Y (s)这很简单。这道代数题很容易解。微分方程更重要。
好的。这道代数题很简单。我们结束了吗?得到了答案,但是我们在s域中。我必须回到。现在这将是一个拉普拉斯逆变换。这就是逆变换。求出y (t)等于多少?
我要怎么做这个逆变换呢?现在我有了答案的变换,我想知道答案。我必须对这个变换求逆,从s得到t, y(0)是常数。拉普拉斯变换是线性的,没问题。由此得到y (0)现在我有1 / (s - a)
我问自己,哪个函数的变换是1 / (s - a)然后就是我要写在这里的函数。变换为1 / (s - a)的函数是什么?这是我们做的。就是上面这个。1 / (s - a)来自于函数e ^ at。
那么1 / (s - a)当我变换回来的时候,就是e ^ at。我是金的。当然,这就是正确答案,这个微分方程的正确解。初始值y(0)随e ^ at的指数变化。没有问题。好的。
我能再举一个一阶方程的例子吗?现在我要把它代入f (t)我要代入一个源项。我还是用同样的方法,但这里有一个f (t)我该取什么呢,还是用指数,e ^ ct。这是右边。
我能做同样的事情吗,中心思想?取微分方程,变换每一项。我从一个时间方程开始,我将得到一个s方程。再一次,dy / dt - ay,它变换成了,它变换成了什么?sY (s) - y (0)从那里来的。减去aY(0)减去aY (s)减去aY (s)
在右边,有e ^ (ct)的变换。我们越来越擅长这个变换了。1 / (s - c)而不是a (c)这就是我们的方程变换。现在代数。我把Y (s)提出来。我怎么把Y (s)从这个方程中提出来?
把y(0)移到另一边。然后除以s - a,看一下。Y (s)等于。这里是1 / (s - c)这里是s - a。S - a,然后是y (0) / (S - a)
我把微分方程转化成了s方程。我只是做了简单的代数运算来解这个方程。我有两项。两届。看到这个项了吗?这是我之前得到的。这就是我刚才得到的。逆变换是这个。没有问题。这是由初始值得到的零解。
来自e ^ ct的新项,来自力的新项,就是这个。我要做它的反变换。我必须找出哪个函数有这样的变换。你可能会说,这是全新的。但我们可以把它和已知的联系起来。
好的。这就得到了相同的逆变换,这个增长的指数。但是这个给出了什么呢?这是一个关键问题。我们必须能做到,求逆,求出哪个函数有这个变换?函数包含a ct,时间。变换变量s,将变成t,时间段。
这是个大问题。我该拿这个做什么?注意,它有两个极点。它在s = a时爆炸,在s = c时爆炸,我必须算出来,实际上,幸运的是,我想把这两个极点分开。因为如果我把两极分开,我知道如何处理s = a时的爆炸和s = c时的爆炸。
问题是,现在我同时有两种情绪。我要把它们分开。这叫做部分分式。关于部分分式,我还要讲更多。现在,让我来做。这个表达式,我把它拿走。因为它给出了我们知道的那一项。
就是这个。是那个吗?我想把这两个极点分开。这又是代数问题。部分分式只是代数运算。没有微积分。这里没有导数。我把它写成1 / (s - c)看。记住答案是有办法的。
(s - c) (c - a)和1 / (s - a)现在是(a - c)你看到它在s = c处只有一个极点了吗?这只是一个数字。它在s = a处有一极,这只是一个数字。事实上,这些数字恰恰相反。
那么现在,我们是金的吗?我可以用一个极点做反变换。这就给出了y的解,这是一个常数,1 / (c - a)它的逆变换是什么?这是c处的单极,它来自一个纯指数,e ^ ct。对吧?
现在是这个,这个。好的。这里有一个- c,它是c - a的反义词,所以如果我加一个负号,我可以把它们都放在c - a上,看这个。看看这个。C - a都在这里。这里有个加号。这个变换来自于这个函数。这里有个负号。所以这里要有个负号。
是什么函数给出了这个变换?E ^ at,对吧?这是我们知道的。一个简单指数的变换,e ^ at。这就是特解。拉普拉斯变换,我们变换微分方程。我们得到了一个代数方程。我们解出了那个代数方程,然后我们要回溯找出哪个函数有这个变换y。
为了看出来,显然我们要用部分分式的思想把这两个极点,分成一个极点,当s是c时,另一个极点,当s是a时,我们得到了两个简单的分式。简单的分数都给出了指数。最终的结果是这样的。我不知道你们还记不记得。这就是一阶常系数线性方程的正确解,这个简单的方程,右边是e ^ ct。
所以我们的最终解就是包含初始值的零解。这个函数来自右边,来自力,e ^ (ct)这就是拉普拉斯变换的原理。对每一项做拉普拉斯变换。求出y (s)尽量求这个变换的逆。好的。更多的内容将在下一讲拉普拉斯变换时讲到。谢谢你!
您也可以从以下列表中选择一个网站:
如何获得最佳的网站性能
选择中国站点(中文或英文)以获得最佳站点性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。