微分方程和线性代数,1.2:你所需要的微积分
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
求和规则,产品规则、链式法则产生新的衍生品的衍生品xn罪(x),ex。微积分基本定理说颠倒导数的积分。
好吧好吧,我们开始。我想这值得思考我们所知道的。微积分。微分方程是微积分的大型应用程序,所以它是有趣的,看看微积分的一部分,什么信息和想法从微积分,微分方程中使用。我将告诉你我所看到的,这并不是一切,它是一些基本的想法,但并不是所有的细节你学到的东西。所以我不是说忘记所有,但只关注真正重要的。
好的。所以你需要的微积分是我的主题。第一件事是,你确实需要知道基本的衍生品。x n的导数,正弦和余弦的导数。最重要的是,e x的导数,e x。e x的导数是e x。这是美妙的方程是解决e x。Dy dt等于y。
我们将不得不做更多的工作。然后是逆函数相关指数的对数。特殊1 / x的导数。好的。但你知道这些。其次,一些特定的事实,您可以创建一个巨大的衍生品的数组函数使用的关键的规则。
的导数的导数是+ g f + g的导数,导数是一个线性操作。产品规则fg ' +女朋友'。除法法则。谁能记住?
最重要的是,链式法则。——连锁效应函数的导数,复合函数的导数是f与g乘以g对x的导数。这是真的,这是链函数在函数或我们可以处理。
好的。然后基本定理。所以基本定理包括导数和积分。它说,一个是逆操作。的积分函数的导数是这样的。
这是y,积分从0 x我不在乎这哑变量。我可以,我哑变量t。任何改变。我也不在乎显示虚拟变量。
x是积分的极限。我不会讨论基本定理,但这无疑是至关重要的,我将使用它。也许这是更好的。我将使用基本定理。
所以——但是记住它说什么。它说,如果你把一个函数,积分,求导,得到函数回来。好的我可以应用到一个很——我认为这是一个关键的例子在微分方程。让我向你们展示我的函数。功能我已经记住,我叫它y,间隔从0到t。
所以它是t的函数,,的积分,e t - s。一些功能。这是一个了不起的基本微分方程的解的公式。
所以,解决了方程dy dt等于y + q t。所以当我看到这个方程,我们会再次看到它,我们将推导公式,但现在我只想使用微积分基本定理检查公式。公式我们创建了——我们得到什么——这不会是错的,因为我们的推导过程将会很好。但也就好了,我只是觉得如果你代入,这个微分方程的解决。
所以我想求导。那是我的工作。这就是为什么我在这里,因为它使用所有的规则。好的,导数,我注意到t是出现在老地方,也是在积分。但这是一个简单的函数。
我可以带e t——我要把e t——外的积分。e t。所以我有一个函数t乘以另一个t的函数。
我要使用产品规则,表明该产品的导数是一项将y和另一项问。我可以只是乘积法则适用于这个函数,我拿出一顶帽子,但是你会再次看到它。所以这个乘以这个产品。所以导数dy dt -乘积法则说求导——是——e。
另外,乘以第二的导数的第一件事。现在我用乘积法则。只是,你必须注意,e t来了两次,因为它有和它的导数是相同的。现在,它的导数是什么?微积分基本定理。
我们集成的一些东西,我想要它的导数,所以我得到一些东西。我得到了e - t的tq。这是基本定理。你是好吗?
让我们看看我们所拥有的。上面第一项正是y。到底是什么,因为当我把第一个人的导数,f没有改变它,所以我仍然有y。我——我在这里做什么工作?E t * E - t就是其中之一。
所以e t取消e - t和我剩下q t的正是我想要的。所以的两项乘积法则是两项的微分方程。我想当你看到基本定理是需要在这里找到那个盒子里的导数是什么,就是在那些括号。我只是喜欢,基本定理的使用。
好的我们需要微积分的一个话题。在这里,我们走。所以它涉及的切线图。这切图。
这是一条直线,我们需要的是y的t +δt。采取任何功能,也许你宁愿我称为函数f。t一点一小超越函数,大约是函数在t +修正,因为它——f +δ,对吧?δf。
和δf大约是多少?大约是δt乘以导数在t。——有很多符号在直线上,但它表达了微分学中最基本的事实。如果我把f t这边一个负号,δf。如果我除以δt,然后大约相同的规则是说这是df dt。
微积分的基本思想,导数是相当接近。在t -导数在接近δf除以δt。它改变在短时间间隔。好了这就是切线,因为它始于常数项。这是δt的函数的斜率。
画一幅画。所以我在这里画画。让我画一个图,哦有图e t。所以它开始斜率为1。我给它一个小斜坡。
好的切线,当然这里不低于。切线是这条线。
这就是切线。就是这个近似f。你认为我——这里是t = 0假设。这里是t =δt。你看看我前进了一大步,我的线是曲线。
我们想靠得更近。所以靠近的方法是我们必须考虑弯曲。曲线是弯的。关于弯曲导告诉我们什么?
这是δt的平方乘以二阶导数。一个一半。原来一半显示。这是这个词改变了切线,切线抛物线。注意到这一点的弯曲。二阶导数。
因此曲线。它不跟随它完美,但也比另一种更好。这是底线。这是抛物线。这是函数。真正的一个。
好的。我不会评论的理论拿出一半,但你可以检查它。最后,如果我们想做得更好吗?我们需要考虑三阶导数,然后第四阶导数等等,如果我们把所有这些衍生品,所有这些意味着,我们将功能因为这是一个很好的功能,e t。我们可以从了解它的高度,重新创建这个函数斜率、弯曲和所有其他的条款。
所以有很多——无限多的条件。1/2 - 1/2的好方法认为,1/2,是1/2的阶乘,两次。因为这是1 / n的阶乘,乘以t n,很小,乘以n阶导数的函数。和继续。
这叫做泰勒级数泰勒的名字命名的。起初的可怕。这是可怕的因为它有无限多的条件。和术语越来越多一点comp——对于大多数功能,你真的不想计算n阶导数。
e t,我不介意n阶导数的计算,因为它仍然是e t,但通常这是——这不是很实用。——非常实用。切抛物线,相当实用。高阶项,少,不太实用。
但公式是美丽的,因为你看到的模式,这就是数学模式,这里你看到的模式更高,更高的条款。他们都适合这种模式,当你把所有的条款,如果你有一个不错的功能,那么近似变得完美,你会平等。
结束这节课,近似等于提供我们有一个不错的功能。这些是最好的数学函数和指数当然是其中之一。这是微积分。好吧,微积分的一部分。谢谢你!
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