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rref

行简化阶梯形(高斯消去法)

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语法

R = rref (A)
R = rref (tol)
(R, p) = rref (A)

描述

例子

R= rref (一个)返回行简化阶梯形的一个用高斯消去法部分旋转。

R= rref (一个,托尔)指定一个主公差算法用于确定可以忽略不计列。

例子

(R,p)= rref (一个)返回非零的轴心p。

例子

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创建一个矩阵,并计算行简化阶梯形。在这种形态下,矩阵有领先1 s主每一列的位置。

=魔法(3)
一个=3×38 1 6 3 5 7 4 9 2
RA = rref (A)
RA =3×31 0 0 0 1 0 0 0 1

3 x3的幻方矩阵是满秩的,所以行简化阶梯形是一个单位矩阵。

现在,计算行简化阶梯形的4×4幻方矩阵。指定两个输出返回非零主列。因为这个矩阵是等级不足,结果不是一个单位矩阵。

B =魔法(4)
B =4×416 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
(RB, p) = rref (B)
RB =4×41 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
p =1×31 2 3
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用高斯消去法解决线性系统增广矩阵,计算矩阵的逆。这些技术主要学术兴趣,因为有更有效率和数值稳定的方法来计算这些值。

创建一个3×3幻方矩阵。添加一个额外的列的矩阵。这个增广矩阵表示线性系统 斧头 = b ,额外的列对应 b 。

一个=魔法(3);一(4)= (1;1;1]
一个=3×41 1 3 5 6 7 8 1 4 9 2 1

计算的行简化阶梯形一个。索引R提取额外的条目(增强)列,其中包含线性系统的解。

R = rref (A)
R =3×40.0667 1.0000 0.0667 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 - 0.0667
x = R(:,结束)
x =3×10.0667 0.0667 0.0667

更有效的方式来解决这个线性系统是反斜杠符,x = A \ b。

创建一个类似的魔方阵,但这一次添加一个相同大小的单位矩阵的列。

一个=(神奇的眼睛(3)(3))
一个=3×61 1 0 0 3 5 6 7 8 0 1 0 4 9 2 0 0 1

计算的行简化阶梯形一个。这种形式的额外列包含3×3的魔方阵的逆矩阵。

R = rref (A)
R =3×61.0000 0 0 0.1472 -0.1444 0.0639 1.0000 -0.0611 0.0222 0.1056 0 0 1.0000 -0.0194 0.1889 -0.1028
inv_A = R(:, 4:结束)
inv_A =3×30.1472 -0.1444 0.0639 -0.0611 0.0222 0.1056 -0.0194 0.1889 -0.1028

更有效的方式来计算逆矩阵发票(一个)。

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考虑一个线性方程组有四个方程三个未知数。

x 1 + x 2 + 5 x 3 = 6 2 x 1 + x 2 + 8 x 3 = 8 x 1 + 2 x 2 + 7 x 3 = 10 - - - - - - x 1 + x 2 - - - - - - x 3 = 2 。

创建一个代表了方程组的增广矩阵。

一个= [1 1 5;2 1 8;1 2 7;1 1 1];b = [6 8 10 2] ';M = [b];

使用rref表达系统行简化阶梯形。

R = rref (M)
R =4×41 0 3 2 0 1 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0

的前两行R包含方程表达 x 1 和 x 2 而言, x 3 。第二个两行暗示至少存在一个解决方案,适合右手边向量(否则方程会读 1 = 0 )。第三列不包含一个主,如此 x 3 是一个独立的变量。因此,有无限多的解决方案万博 尤文图斯 x 1 和 x 2 , x 3 可以自由选择。

x 1 = 2 - - - - - - 3 x 3 x 2 = 4 - - - - - - 2 x 3 。

例如,如果 x 3 = 1 ,然后 x 1 = - - - - - - 1 和 x 2 = 2 。

从数值计算的角度来看,一个更有效的方法解决这个方程组x0 = \ b,这对一个矩形(矩阵一个)计算最小二乘解。在这种情况下,您可以检查解决方案的准确性规范(A * x0-b) /规范(b)并通过检查解决方案的独特性等级(一个)等于未知数的数目。如果存在多个解决方案,那么他们都有形式 x = x 0 + nt ,在那里 n 是零空间零(A)和 t 可以自由选择。

输入参数

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输入矩阵。

数据类型:单|双
复数的支持:万博1manbetx是的

主宽容,指定为一个标量。如果最大的元素(绝对值)主列以下公差,然后列是0。这可以防止除法和乘法与非零主元素小于公差。

数据类型:单|双

输出参数

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行简化阶梯形的一个,作为一个矩阵返回。

非零主列,作为一个向量返回。中的每个元素p是一个列索引的一个。您可以使用p估计几个数量:

  • 长度(p)是一个估计的排名一个。

  • x (p)包含主变量的一个线性系统Ax = b。

  • (:p)是一个基础的范围一个。

  • R (1: R p)是r——- - - - - -r单位矩阵,r =长度(p)。

限制

  • 排名,奥尔特,零通常是更快和更准确的计算的级别和基向量矩阵。

  • mldivide建议解决线性系统。

更多关于

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部分旋转

部分旋转选择列元素的实践与最大绝对值主列,然后交换矩阵的行,该元素在枢轴位置(行)中最左边的非零元素。

例如,在下面的矩阵算法首先确定第一列的最大的价值(价值等于(2,1)位置1.1),然后交换完整的第一和第二行,所以这个值出现在(1,1)的位置。

3×3的矩阵。第一行的值0.5,1.4,2。第二行值为1.1,0.3和0.1。第三行值0.2 5和0.5。

使用部分旋转高斯消去法减少(但不是消除)舍入误差的计算。

行简化阶梯形

一个矩阵行简化阶梯形当这些条件得到满足:

  • 所有非零行高于0行。

  • 每一行的主要系数是严格的右边上面一行。

行阶梯形矩阵的一个例子

一个 = ( 1 2 3 0 4 1 0 0 2 ) 。

一个额外的要求行简化阶梯形是:

  • 每首项系数必须1,必须是唯一的非零的列。

虽然单位矩阵是最常见的与行简化阶梯形,其他形式是可能的。另一个例子是行简化阶梯形矩阵

一个 = ( 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 − 3 0 0 0 0 ) 。

算法

rref实现了高斯消去法和部分旋转。一个默认的公差马克斯(大小(A)) * eps *规范(A,正)测试可以忽略不计列元素0减少舍入误差。

扩展功能

版本历史

之前介绍过的R2006a

另请参阅

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