quad2d

集成

在 $$-\; -\; -\; -\; -\; -\pi \le x\le 2\pi$$和 $$0\le y\le \pi$$。

有趣= @ (x, y) y。* sin (x) + x。* cos (y);Q = quad2d(有趣,π,2 *π,0,π)

Q = -9.8696

比较结果的真实价值积分, $$-\; -\; -\; -\; -\; -{\pi }^2$$。

-π^ 2

ans = -9.8696

集成功能

在该地区 $$0\le x\le 1$$和 $$0\le y\le 1-\; -\; -\; -\; -\; -x$$。这被积函数在原点是无限的(0,0),位于集成的边界地区。

有趣= @ (x, y) 1。/(sqrt(x + y) .* (1 + x + y).^2 ); ymax = @(x) 1 - x; Q = quad2d(fun,0,1,0,ymax)

Q = 0.2854

积分的真正价值 $$\pi /4-\; -\; -\; -\; -\; -1/2$$。

π/ 4 - 0.5

ans = 0.2854

quad2d首先映射集成到一个矩形的区域。因此,它可能很难整合在一个地区没有四条边或有一方,不能映射顺利一条直线。如果集成是成功,离开一些有用的策略单数设置为默认值真正的笛卡儿之间,改变和极坐标,或者将融入地区部分并添加部分集成的结果。

例如:

有趣= @ abs (x (x, y)。y ^ 2 +。^2- - - - - -0。25); c = @(x)-sqrt(1 - x.^2); d = @(x)sqrt(1 - x.^2); quad2d(fun,-1,1,c,d,“AbsTol”1 e-8…“FailurePlot”,真的,“奇异”、假);

警告:达到的最大数量评估函数(2000)。测试结果失败全球错误。

阴谋失败显示了两个困难的领域,附近的点(1,0)和(1,0)和附近的圆 $$x^2+y^2=0。25$$。

改变的价值单数来真正的将应对几何奇异点在哪里(1,0)和(1,0)。更大的阴影区域可能需要细化,但可能不是困难的地区。

Q = quad2d(有趣,1,1,c, d,“AbsTol”1 e-8…“FailurePlot”,真的,“奇异”,真正的);

警告:达到的最大数量评估函数(2000)。通过全球错误测试结果。

从这里您可以利用对称性:

Q = 4 * quad2d(有趣,0 1 0 d“Abstol”1 e-8…“奇异”,真的,“FailurePlot”,真正的)

Q = 0.9817

然而,代码仍然非常努力在奇点附近。它可能无法提供更高的精度:

Q = 4 * quad2d(有趣,0 1 0 d“Abstol”1平台以及…“奇异”,真的,“FailurePlot”,真正的);

警告:达到的最大数量评估函数(2000)。通过全球错误测试结果。

在精度高,坐标的变化可能做得更好。

polarfun = @(θ,r)乐趣(r。* cos(θ),r。* sin(θ))。* r;Q = 4 * quad2d (polarfun 0π/ 2,0,1,“AbsTol”1平台以及);

最好把奇点在边界积分的区域分割为两个部分:

Q1 = 4 * quad2d (polarfun 0π/ 2,0,0.5,“AbsTol”5 e-11);Q2 = 4 * quad2d (polarfun 0π/ 2,0.5,1,“AbsTol”5 e-11);Q = Q1 +;