找到5×5帕斯卡矩阵的QR分解。指定一个输出参数只返回上三角因素。

一个=帕斯卡(5);X = qr (A)

X =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 0.3090 3.1623 11.0680 26.5631 53.1263 0.3090 - 1744 1.8708 7.4833 19.2428 0.3090 - 4565 0.3548 0.6325 2.8460 0.3090 - 7387 -0.0281 -0.7490 -0.1195

提取上三角因子R从X。

R = triu（X）

R =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 0 3.1623 11.0680 26.5631 53.1263 0 0 1.8708 7.4833 19.2428 0 0 0 0.6325 2.8460 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.1195

比较R在Q-less QR分解中R考虑一个完整的QR分解。

[Q1，R1] = QR（A）

Q1 =5×5-0.4472 -0.6325 0.5345 -0.3162 -0.1195 -0.4472 -0.3162 -0.2673 0.6325 0.4781 -0.4472 0.0000 -0.5345 -0.0000 -0.7171 -0.4472 0.3162 -0.2673 -0.6325 0.4781 -0.4472 0.6325 0.5345 0.3162 -0.1195

R1 =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 0 3.1623 11.0680 26.5631 53.1263 0 0 1.8708 7.4833 19.2428 0 0 0 0.6325 2.8460 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.1195

通过指定两个输出参数计算幻方测试矩阵的全部QR分解。

A =魔法（5）;[Q，R] = QR（A）

Q =5×5-0.5234 - 5058 - 6735 - 1215 -0.0441 - 7081 - 6966 -0.0177 0.0815 -0.0800 -0.1231 0.1367 - 3558 - 6307 - 6646 - 3079 0.1911 -0.4122 -0.4247 0.200 -0.3387 0.4514 - 4996 0.6328 -0.1774

R =5×5-32.4808 -26.6311 -21.3973 -23.7063 -25.8615 0 19.8943 12.3234 1.9439 4.0856 0 0 -24.3985 -11.6316 -3.7415 0 0 0 -20.0982 -9.9739 0 0 0 0 -16.0005

验证 $\mathit{一个}=\mathrm{QR}$，在机器精度范围内。

范数（A-Q * R）

ANS = 9.5562e-15

属性中指定三个输出参数以返回减少填充的排列矩阵或向量RQR分解的因子。

计算的QR分解west0479稀疏矩阵。指定三个输出返回置换矩阵满足 $\mathrm{美联社}=\mathrm{QR}$。

负载west0479A = west0479;[Q，R，P] = QR（A）;

验证* P = * R对于置换矩阵P，在机器精度范围内。

规范(* p q * R,“回回”)

ans = 3.5451平台以及

现在指定'向量'选择返回p作为置换矢量。

[Q，R，P] = QR（A，'向量');

验证A（：，P）= Q * R对于置换向量p，在机器精度范围内。

规范(:p - Q * R,“回回”)

ans = 3.5451平台以及

验证在在分解结果使用的置换矩阵或置换矢量的R与非置换分解相比，稀疏输入的非零较少的因子。

[Q1，R1] = QR（A）;间谍（R1）

间谍（R）

结果表明，该分解过程产生了一种新的分解方法R因子具有基本上较少的非零元素。

使用系数矩阵的经济尺寸QR分解来求解线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$。

的前五列创建一个10×5系数矩阵魔法(10)。对于线性方程的右手侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$，使用矩阵的行和。有了这样的设置，方程的解 $\mathit{x}$应该是那些向量。

一个=魔法(10);= (:1:5)

一个=10×592 99 1 8 15 98 80 7 14 16 4 81 88 20 22 85 87 19 21 3 86 93 25 2 9 17 24 76 83 90 23 5 82 89 91 79 6 13 95 97 10 12 94 96 78 11 18 100 77 84

B =总和（A，2）

b =10×1215 215 215 215 215 215 290 290 290 290 290 290 290

计算的经济规模QR分解一个。然后求解线性系统 $\mathrm{QRX}=\mathit{b}$与X（P，:) = R \（Q \ b）中。因为问是正交的，该方程是一样:x (p) = R \(问‘* b)。

[Q，R，P] = QR（A，0）

Q =10×5-0.0050 -0.4775 - 0.0375 - 0.0193 0.0349 -0.0349 -0.1954 - 2006年0.4384 0.1059 - 0.451 0.2923 - 2542 0.274 -0.1246 -0.4117 -0.2812 -0.1326 0.4130 -0.3787 0.0209 0.2702 0.4697 0.390 -0.4085 0.0.0017 0.2217 - 2450 - 2015 -0.0648 -0.3925 0.6939 0.1225 - 4683 0.0833 0.0283 - 3038 0.5265 - 4982 0.0867 0.0394 -0.1822 -0.4138

R =5×5-200.7112 -55.5026 -167.6040 -84.7237 -168.7997 0 -192.1053 -40.3557 -152.4040 -39.2814 0 0 101.3180 -89.4254 96.0172 0 0 0 41.0248 -14.9083 0 0 0 0 24.6386

p =1×53 1 5 2 4

X（P，:) = R \（Q \ b）中

X =5×1100000, 100000, 100000, 100000, 100000

做对角的半对数图R为了证实置换分解产生一个R因子ABS（DIAG（R））减少。的奇异值一个在比较了同样的情节。在实践中，对角线值R的奇异值的行为方式类似一个。因此，可以使用的对角值R至于如何接近奇异的矩阵措施一个是多少。

semilogy (abs(诊断接头(R)),“o”）保持上semilogy（SVD（A），'R-O'）图例（R的对角线," A的奇异值")

解决稀疏线性系统，并使用结果，看看有多少矢量b的列空间年代。

创建一个随机的500×20稀疏矩阵，密度为10%，向量为1。使用QR将矩阵分解成因子R和C =问' * b。

S = sprand（500,20,0.1）;B =酮（500,1）;[C，R] = QR（S，B，0）;

使用结果来解决 $\mathrm{SX}=\mathit{b}$与X = R \ C。

X = R \ C;

考虑到身份 ${为\mathit{b}为}^2={为\mathrm{SX}-\mathit{b}为}^2+{为\mathit{C}为}^2$。

通过规范通过划分b，你会得到一个新的身份昭示着多少b的列空间年代:

$\frac{{为\mathrm{SX}-\mathit{b}为}^2}{{为\mathit{b}为}^2}+\frac{{为\mathit{C}为}^2}{{为\mathit{b}为}^2}=1$。

第一项是多少b才不是在的列空间中年代，而第二项告诉多少b不在的列空间中年代。

T1 =规范（S * X-B）^ 2 /规范（B）^ 2

t1 = 0.4000

T2 =范数（C）^ 2 /规范（B）^ 2

T2 = 0.6000

使用QR解决矩阵方程 $\mathrm{SX}=\mathit{B}$具有矩形稀疏系数矩阵 $\mathit{年代}$。

加载west0479稀疏矩阵，并使用所述第一列200作为矩形系数矩阵中的线性系统。对于等式的右边，使用的行总和 $\mathit{年代}$。通过这种设置，解决方案 $\mathrm{SX}=\mathit{B}$是一个1的向量。

负载west0479S = west0479（：，1：200）;B =总和（S，2）;

解决 $\mathrm{SX}=\mathit{B}$运用QR有两个输入和三个输出。线性方程组的解是X = P *（R \ C）。

[P C R] = qr(年代,B);x = P * (R \ C);

验证 $\mathrm{SX}-\mathit{B}=0$，在机器精度范围内。

规范(S *取向)

ANS = 9.1703e-11

注意：为了计算上三角因子R和置换矩阵P，但要避免计算的正交矩阵问（这通常是一个呼叫的计算上最昂贵的部分QR)，您可以指定B为空矩阵:

emptyB = 0(大小(年代,1),0);(~ R P) = qr(年代,emptyB);