使用零函数用于计算矩阵零空间的标准正交基向量和有理基向量。矩阵的零空间包含向量 $\mathit{x}$满足 $\mathrm{斧头}＝0$．

创建一个3 × 3的1矩阵。这个矩阵是缺秩的，其中两个奇异值等于零。

A = ones(3)

一个=3×31 1 1 1 1 1 1 1 1 1

的零空间的标准正交基一个．确认 $\mathit{一个}{\mathit{x}}_1＝0$，在舍入误差内。

x1 = null(A)

x1 =3×20.8165 -0.0000 -0.4082 -0.7071 -0.4082 0.7071

规范(* x1)

Ans = 4.2999e-16

现在计算零空间的一组有理基。确认 $\mathit{一个}{\mathit{x}}_2＝0$．

x2 = null(A，“理性”）

x2 =3×2-1 -1 1 0 0 1

规范(A * x2)

Ans = 0

x1而且x2是相似的，但规范化的方式不同。而x1的* x1是一个单位矩阵，x2的* x2不是。

x1的* x1

ans =2×21.000 -0.0000 -0.0000 1.000

x2的* x2

ans =2×22 1 1 2

正交性对于数值计算的准确性通常是必不可少的。因此,“理性”选项应该仅在处理小的全整数矩阵时使用，在这种情况下，输出由可扫描的数字组成是有用的。

当矩阵具有较小的奇异值时，指定一个公差，以更改将奇异值视为零。

创建一个7 × 7的希尔伯特矩阵。这个矩阵是满秩的，但有一些小的奇异值。

H = hilb(7)

H =7×71.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.1667 0.1429 0.1111 0.1000 0.0909 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769

s = svd(H)

s =7×11.6609 0.2719 0.0213 0.0010 0.0000 0.0000 0.0000

的零空间H．因为H是满秩的，Z是空的。

Z = null(H)

Z = 7x0空双矩阵

现在，再次计算零空间，但指定公差1的军医．这种宽容导致零将其中三个奇异值视为零，因此零空间不再为空。

Ztol = null(H,1e-4)

Ztol =7×30.0160 -0.0025 0.0002 -0.2279 0.0618 -0.0098 0.6288 -0.3487 0.0952 -0.2004 0.6447 -0.3713 -0.4970 -0.1744 0.6825 -0.1849 -0.5436 -0.5910 0.4808 0.3647 0.1944

验证H * Ztol与规定的公差相比，有可以忽略不计的元素。

规范(H * Ztol)

Ans = 2.9386e-05

求欠定系统的一个特解，然后得到所有解的一般形式。万博 尤文图斯

欠定线性系统 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$涉及的未知数比方程多。欠定系统可以有无穷多个解，也可以没有解。万博 尤文图斯当方程组有无穷多个解时，它们都在一条直线上。万博 尤文图斯直线上的点都是由零空间向量的线性组合得到的。

创建一个2 × 4的系数矩阵，并使用反斜杠来求解方程 $\mathit{一个}{\mathit{x}}_0＝\mathit{b}$,在那里 $\mathit{b}$是一个1的向量。反斜杠计算问题的最小二乘解。

A = [1 8 15 67;7 14 16 3]

一个=2×41 8 15 67 7 14 16 3

B = ones(2,1);x0 = A\b

x0 =4×100 0.0623 0.0010

欠定系统的完备通解具有形式 $\mathit{x}＝{\mathit{x}}_0+\mathrm{纽约}$,地点:

的零空间一个，然后利用所得结果构造方程组的另一个解。检查新解是否满足要求 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$，在舍入误差内。

N = null(A)

N =4×2-0.2977 -0.8970 -0.6397 0.4397 0.7044 0.0157 -0.0769 -0.0426

x = x0 + N*[1];2]

x =4×11.4963 -1.5192 0.7354 0.0093

规范(*取向)

Ans = 2.8908e-14