解决与反斜杠无穷多解的线性系统（万博 尤文图斯\）和lsqminnorm。比较结果使用2规范的解决方案。万博 尤文图斯

当无限的解决方案存在万博 尤文图斯 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$，它们中的每最小化 $为\mathrm{斧头}-\mathit{b}为$。反斜杠命令（\)计算一个这样的解决方案，但这个解决方案通常不会最小化 $为\mathit{x}为$。计算的解lsqminnorm最小化不仅规范(*取向),但也规范（X）。

考虑一个简单的线性系统具有一个方程和两个未知数， $2{\mathit{x}}_1+3.{\mathit{x}}_2=8$。这个系统是欠定的既然有公式比未知数少。同时使用反斜线解方程和lsqminnorm。

A = [2 3];b = 8;x_a = \ b

x_a =2×10 2.6667

x_b = lsqminnorm（A，B）

x_b =2×11.2308 1.8462

这两种方法得到不同的解决方案，因为反斜杠只是为了最小化万博 尤文图斯规范(*取向)，而lsqminnorm目的也是为了减少规范（X）。计算这些规范，并把结果以表格，便于比较。

s1 = {“反斜杠”;'lsqminnorm'};s2 = {“norm_Ax_minus_b”,“norm_x”};T =表（[范数（A * x_a-b）的范数（A * x_b-b）中]，[范数（x_a）;范数（x_b）]“RowNames”s1,“VariableNames”s2)

T =2×2表norm_Ax_minus_b norm_x售予______反斜杠0 2.2188 1.7764 2.6667 lsqminnorm e15汽油

这个数字说明了情况，并显示每个方法返回的解决方案。万博 尤文图斯蓝线代表解方程的无穷多万博 尤文图斯 ${\mathit{x}}_2=-\frac{2}{3.}{\mathit{x}}_1+\frac{8}{3.}$。橙色圆圈表示从原点到溶液的线的最小距离，并将该溶液通过返回万博 尤文图斯lsqminnorm正好位于直线和圆之间的切点上，表示它是最接近原点的解。

显示如何为秩计算指定容忍lsqminnorm可以帮助确定问题的规模，使随机噪声不会破坏解决方案。

创建等级5的低秩矩阵和右手侧矢量b。

RNG默认的%的再现性U = randn (200 5);V = randn (100 5);= U * V ';b = U*randn(5,1) + 1e-4*randn(200,1);

求解线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$使用lsqminnorm。计算规范A *取向和x检查解决方案的质量。

X = lsqminnorm（A，B）;规范(*取向)

ANS = 0.0014

规范（X）

ans = 0.1741

现在给矩阵添加一点噪声一个再解一次线性方程组。噪声会影响解向量x线性系统的不相称的。

Anoise = A + 1E-12 * randn（200100）;xnoise = lsqminnorm（Anoise，B）;规范(声音吵醒* xnoise - b)

ANS = 0.0010

规范（xnoise）

ans = 1.1215 e + 08年

由于噪声影响了的低秩近似，导致了两种解之间存在较大的差异万博 尤文图斯一个。换句话说,lsqminnorm在对角线上的治疗小值R矩阵的QR分解一个作为更重要的不是他们。理想情况下，对角线这些小值R应该被视为零。

情节的对角线元素R矩阵的QR分解声音吵醒。大量对角元素的数量级为1e-10。

[Q，R，P] = QR（Anoise，0）;semilogy（ABS（DIAG（R）），'O')

这个问题的解决方法是增加使用的公差lsqminnorm从而使低等级近似声音吵醒误差小于1E-8在计算中被使用。这使得结果更容易受到噪音。用宽容的解决方案是非常接近原来的解决方案x。

xnoise = lsqminnorm(Anoise, b, 1e-8);规范(声音吵醒* xnoise - b)

ANS = 0.0014

规范（xnoise）

ans = 0.1741

规范（X  -  xnoise）

ANS = 1.0811e-14

求解一个带有警告的低秩系数矩阵的线性系统。

创建一个3×3的矩阵，它的秩是2。在这个矩阵中，可以通过将前两列相加得到第三列。

A = [1 2 3;4 5 9;6 7 13]

一个=3×31 2 3 4 5 9 6 7 13

找到最小范数最小二乘问题的解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$，其中 $\mathit{b}$等于第二列 $\mathit{一个}$。指定'警告'国旗为lsqminnorm如果检测显示警告一个是低级的。

b = (:, 2);x = lsqminnorm (A, b,'警告')

警告:秩亏，秩= 2,tol = 1.072041e-14。

x =3×1-0.3333 0.6667 0.3333