定理

广义奇异值分解

描述

(U, V, X, C, S] =定理(A, B)返回酉矩阵UV,通常为方阵X和非负对角矩阵C年代

A = U*C*X' B = V*S*X' C'*C + S'*S = I

一个B必须具有相同的列数,但可以具有不同的行数。如果一个——- - - - - -pBn——- - - - - -p,然后U——- - - - - -,Vn——- - - - - -n,Xp——- - - - - -,C——- - - - - -年代n——- - - - - -,在那里q = min (m + n, p)

的非零元素年代总是在主对角线上。的非零元素C都在对角线上诊断接头(C,马克斯(0,q - m))。如果m > =问的主对角线C

(U, V, X, C, S] =定理(A, B, 0),在那里一个——- - - - - -pBn——- - - - - -p,产生“经济规模”分解的结果UV有最多p列和C年代有最多p行。广义奇异值为诊断接头(C)。/诊断接头(S)只要m > = pn > = p

如果一个——- - - - - -pBn——- - - - - -p,然后U——- - - - - -分钟(q,米),Vn——- - - - - -分钟(q, n),Xp——- - - - - -,C分钟(q,米)——- - - - - -年代分钟(q, n)——- - - - - -,在那里q = min (m + n, p)

σ=定理(A, B)返回广义奇异值的向量,√诊断接头(C * C)。/诊断接头*年代(S))。当B为平方非奇异,广义奇异值,定理(A, B),对应于普通奇异值,圣言(A / B),但它们的排序顺序相反。他们的倒数定理(B)

向量σ长度它的排列顺序是非递减的。

例子

示例1

矩阵的行数至少与列数相等。

A =重塑(1:15,5,3)B =魔法(3)A = 1 6 11 2 7 12 3 8 13 4 9 14 5 10 15 B = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

该声明

(U, V, X, C, S] =定理(A, B)

生成一个5×5的正交图形U一个3×3的正交矩阵V,一个3×3的非奇异矩阵X,

X = 2.8284 -9.3761 -6.9346 -5.6569 -8.3071 -18.3301 2.8284 -7.2381 -29.7256

S = 1.0000 000 0.9489 000 0.1957

一个的第一个对角元素是秩亏吗C是零。

经济规模分解,

(U, V, X, C, S] =定理(A, B, 0)

得到一个5×3矩阵U一个3×3矩阵C

U = 0.5700 -0.6457 -0.4279 -0.7455 -0.3296 - 4375 - 1702 -0.0135 -0.4470 0.2966 0.3026 -0.4566 0.0490 0.6187 -0.4661 C = 0.0000 000 0.3155 0000 0.9807

其他三个矩阵,V,X,年代与完全分解得到的结果相同。

广义奇异值为的对角元素的比值C年代

= gsvd(A,B) = 0.0000 0.3325 5.0123

这些值是普通奇异值的重新排序

svd(A/B) ans = 5.0123 0.3325 0.0000

示例2

矩阵的列数至少与行数相等。

=重塑(1:15,3,5)B =魔法(5)= 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 3 6 9 12 15 B = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19日21日3 11 18 25 2 9

该声明

(U, V, X, C, S] =定理(A, B)

生成一个3×3的正交矩阵U一个5×5的正交矩阵V,一个5乘5的非奇异矩阵X

S = 1.0000 00 1.0000 00 1.0000 000 0.9990 0000 0000 0.6690

在这种情况下,的非零对角C诊断接头(C, 2)。广义奇异值包括三个零。

sigma = gsvd(A,B) sigma = 00 0.0000 0.0439 1.1109

颠倒角色一个B往复这些值,产生两个无穷大。

gsvd(B,A) ans = 1.0e+16 * 0.0000 0.0000 8.8252 Inf Inf

提示

  • 在这个公式中定理的个体等级没有任何假设一个B。矩阵X具有满秩当且仅当矩阵[A, B]满秩。事实上,圣言(X)电导率(X)等于圣言([A, B])电导率([A, B])。其他剂型,如。G. Golub和C. Van Loan[1],要求零(A)零(B)不重叠和替换X通过发票(X)发票(X ')

    然而,请注意,当零(A)零(B)的非零元素有重叠吗C年代不是唯一确定的。

算法

广义奇异值分解采用式中所述的C-S分解[1],以及内置的圣言会qr功能。的局部函数中实现了C-S分解定理程序文件。

参考文献

[1] Golub, Gene H.和Charles Van Loan,矩阵计算,第三版,约翰霍普金斯大学出版社,巴尔的摩,1996

另请参阅

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之前介绍过的R2006a