利用chol分解对称系数矩阵，然后使用Cholesky因子求解线性系统。

在对角线上创建一个具有正值的对称矩阵。

a = [1 0 1;0 2 0;1 0 3]

a =3×31 0 1 0 2 0 1 0 3

Calculate the Cholesky factor of the matrix.

r = chol（a）

r =3×31.0000 0 1.0000 0 1.4142 0 0 0 1.4142

为方程的右侧创建向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$。

b=sum(A,2);

自从 $\mathit{一个}={\mathit{r}}^{\mathit{t}}\mathit{r}$和the Cholesky decomposition, the linear equation becomes ${\mathit{r}}^{\mathit{t}}\mathit{r}\mathit{X}=\mathit{b}$。解决X使用Backslash操作员。

x = r \（r'\ b）

X=3×11.0000 1.0000 1.0000

计算矩阵的上和下cholesky因素化并验证结果。

Create a 6-by-6 symmetric positive definite test matrix using the画廊功能。

a =画廊（'莱默'，6）;

Calculate the Cholesky factor using the upper triangle of一个。

r = chol（a）

r =6×61.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0 0.8660 0.5774 0.4330 0.3464 0.2887 0 0 0.7454 0.5590 0.4472 0.3727 0 0 0 0.6614 0.5292 0.4410 0 0 0 0 0.6000 0.5000 0 0 0 0 0 0.5528

验证上三角因子满足r'*r- A = 0，，，，和in roundoff error.

norm（r'*r -a）

ANS = 2.8886e-16

现在，指定'lower'使用下部三角形计算cholesky因子的选项一个。

l = chol（a，'lower'）

l =6×61.0000 0 0 0 0 0 0.5000 0.8660 0 0 0 0 0.3333 0.5774 0.7454 0 0 0 0.2500 0.4330 0.5590 0.6614 0 0 0.2000 0.3464 0.4472 0.5292 0.6000 0 0.1667 0.2887 0.3727 0.4410 0.5000 0.5528

验证下部三角因子是否满足l*l' - a = 0，，，，和in roundoff error.

norm（l*l' -  a）

ans =2.1158e-16

利用chol当输入矩阵不是对称正定确定时，有两个输出可以抑制误差。

创建一个5 x-5的二项式系数矩阵。该矩阵是对称的阳性确定性的，因此从最后一个元素中减去1，以确保其不再是正定义。

a =pascal(5); A(end) = A(end) - 1

a =5×51 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 69

计算Cholesky因子一个。指定两个输出，以避免产生错误一个不是对称的阳性确定性。

[[r，，，，旗帜] = chol（一个）

r =4×41 1 1 1 0 1 2 3 0 0 1 3 0 0 0 1

旗帜=5

自从旗帜是非零的，它给出了分解失败的枢轴索引。chol能够计算q = flag-1=4行和列在遇到更改的矩阵的一部分时正确之前正确的行和列。

验证这一点r'*r返回四行和列a（1：q，1：q）。

q = flag-1;r'*r

ans =4×41 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20

a（1：q，1：q）

ans =4×41 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20

计算稀疏矩阵的Cholesky因子，并使用置换输出来创建较少的nonzeros的Cholesky因子。

基于West0479矩阵。

加载West0479a = west0479;s = a'*a;

计算矩阵的Cholesky因子两种不同的方式。首先指定两个输出，然后指定三个输出以启用行和列重新排序。

[[r，，，，旗帜] = chol（s）；[[rp，，，，flagP,P] = chol(S);

对于每个计算，请检查旗帜=0确认计算成功。

如果〜FLAG && 〜FLAGP DISP（“因解成功。”）别的disp（'Factorizations failed.'）结尾

Factorizations successful.

比较在chol（S）vs. the reordered matrixchol（p'*s*p）。best practice is to use the three output syntax ofchol和sparse matrices, since reordering the rows and columns can greatly reduce the number of nonzeros in the Cholesky factor.

子图（1,2,1）间谍（R）标题（R）标题（'chol中的nonzeros''）子图（1,2,2）间谍（RP）标题（RP）标题（'Nonzeros in chol(P''*S*P)'）

使用'vector'选项cholto return the permutation information as a vector rather than a matrix.

Create a sparse finite element matrix.

s =画廊（'Wathen'，，，，10,10); spy(S)

计算Cholesky因子the matrix, and specify the'vector'返回排列矢量的选项p。

[r，flag，p] = chol（s，'vector'）；

验证这一点旗帜=0，，，，indicating the calculation is successful.

如果〜标志disp（“分解成功。”）别的disp（'Factorization failed.'）结尾

Factorization successful.

验证这一点s（p，p）= r'*r，，，，和in roundoff error.

norm(S(p,p) - R'*R,'fro'）

ANS = 2.1039E-13