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roty

绕y轴旋转的旋转矩阵

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语法

R = roty(ang)

描述

例子

R= roty (盎）创建一个3 × 3矩阵，用于旋转3 × 1向量或3 × n向量的矩阵绕y轴通过盎度。当作用于一个矩阵时，矩阵的每一列表示一个不同的向量。对于旋转矩阵R和向量v，旋转后的向量由R * v．

例子

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构造一个向量绕y轴旋转45°的矩阵。然后让矩阵作用于一个向量。

R = roty(45)
R =3×30.7071 0 0.7071 0 1.0000 0 -0.7071 0 0.7071
V = [1;-2;4];y = R*v
y =3×13.5355 -2.0000 2.1213

在绕y轴旋转的情况下y向量的-component是不变的。

输入参数

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旋转角度指定为实值标量。如果沿y轴朝向原点的观测者观察到旋转方向为逆时针，则旋转角度为正。角度的单位是度。

例子:30.0

数据类型:双

输出参数

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3 × 3旋转矩阵返回为

R y （ β ） ＝ ［ 因为 β 0 罪 β 0 1 0 − 罪 β 0 因为 β ］

对于旋转角度β．

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旋转矩阵

旋转矩阵用于将矢量旋转到一个新的方向。

在三维空间中变换矢量时，经常会遇到旋转矩阵。旋转矩阵在两种意义上使用:它们可以用来旋转一个向量到一个新的位置，或者它们可以用来旋转一个坐标基(或坐标系)到一个新的位置。在这种情况下，向量是独立的，但它在新基底中的分量将不同于原始基底中的分量。在欧几里得空间中，有三种基本旋转:分别围绕x、y和z轴旋转。每一次旋转都由一个旋转角度指定。当观察者沿着旋转轴朝向原点时，旋转角度被定义为逆时针旋转的正角。任意旋转都可以由这三个组合组成(欧拉旋转定理)．例如，你可以在任意方向旋转一个矢量，使用三个旋转序列: v ” ＝ 一个 v ＝ R z （ γ ） R y （ β ） R x （ α ） v ．

围绕x、y和z轴旋转向量的旋转矩阵由:

  • 绕x轴逆时针旋转

    R x （ α ） ＝ ［ 1 0 0 0 因为 α − 罪 α 0 罪 α 因为 α ］

  • 绕y轴逆时针旋转

    R y （ β ） ＝ ［ 因为 β 0 罪 β 0 1 0 − 罪 β 0 因为 β ］

  • 绕z轴逆时针旋转

    R z （ γ ） ＝ ［ 因为 γ − 罪 γ 0 罪 γ 因为 γ 0 0 0 1 ］

下面三张图展示了每个旋转轴的正旋转情况:

对于任何旋转，都有一个逆旋转 一个 − 1 一个 ＝ 1 ．例如，通过改变角度的符号，可以得到x轴旋转矩阵的逆:

R x − 1 （ α ） ＝ R x （ − α ） ＝ ［ 1 0 0 0 因为 α 罪 α 0 − 罪 α 因为 α ］ ＝ R x ” （ α ）

这个例子说明了一个基本性质:逆旋转矩阵是原矩阵的转置。旋转矩阵满足A 'a = 1，因此det(A) = 1．在旋转过程中，矢量的长度和矢量之间的角度被保留。

我们可以用另一种方式来考虑旋转。考虑原始的基向量集合， 我 ， j ， k ，并使用旋转矩阵旋转它们一个．这就产生了一组新的基向量 我 ” ， j ， ” k ” 与原文相关的:

我 ” ＝ 一个 我 j ” ＝ 一个 j k ” ＝ 一个 k

使用转置，你可以把新的基向量写成旧基向量的线性组合:

［ 我 ” j ” k ” ］ ＝ 一个 ” ［ 我 j k ］

现在任何向量都可以写成基向量的线性组合:

v ＝ v x 我 + v y j + v z k ＝ v ” x 我 ” + v ” y j ” + v ” z k ”

使用代数操作，可以在基(或坐标系)旋转时推导出固定向量的分量变换。这个变换使用旋转矩阵的转置。

［ v ” x v ” y v ” z ］ ＝ 一个 − 1 ［ v x v y v z ］ ＝ 一个 ” ［ v x v y v z ］

下图说明了当坐标系绕x轴旋转时矢量是如何变换的。后面的图显示了如何将此转换解释为旋转矢量的相反的方向。

参考文献

[1] Goldstein, H.， C. Poole和J. Safko，经典力学，第三版，旧金山:Addison Wesley, 2002, 142-144页。

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另请参阅

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