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Polyeig

多项式特征值问题

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句法

e = polyeig（a0，a1，...，ap）
[x，e] = polyeig（a0，a1，...，ap）
[x，e，s] = polyeig（a0，a1，...，ap）

描述

例子

e= polyeig（A0，A1，...，AP）返回特征值多项式特征值问题学位p。

例子

[[X，，，，e] = polyeig（A0，A1，...，AP）还返回矩阵X，大小n-经过-n*p，其列是特征向量。

例子

[[X，，，，e，，，，s] = polyeig（A0，A1，...，AP）另外返回向量s，长度p*n，包含特征值的条件数。至少一个A0和AP必须是非词。较大的状况数字表明，该问题接近重复特征值的问题。

例子

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解决涉及质量矩阵的二次特征值问题m，阻尼矩阵C和刚度矩阵k。这个二次特征值问题来自运动方程：

该方程适用于广泛的振荡系统，包括动态质量弹簧系统或RLC电子网络。基本解决方案是，这两者兼而有之和X必须解决二次特征值问题（QEP），

创建系数矩阵m，，，，C， 和k代表具有四度自由的质量弹簧系统。系数矩阵都是对称和阳性半限定的，并且m是对角线矩阵。

m = diag（[3 1 3 1]）
m =4×43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1
C = [0.4 0 -0.3 0;0 0 0 0;-0.3 0 0.5 -0.2;0 0 -0.2 0.2]
C =4×40.4000 0 -0.3000 0 0 0 0 0 0-0.3000 0 0.5000 -0.2000 0 0 -0.2000 0.2000
k = [-7 2 4 0;2 -4 2 0;4 2 -9 3;0 0 3 -3]
k =4×4-7 2 4 0 2 -4 2 0 4 2 -9 3 0 0 3 -3

使用特征值，特征向量和条件编号来解决QEPPolyeig。

[x，e，s] = polyeig（k，c，m）
x =4×80.1828 0.3421 0.3989 0.0621 0.3890 -0.4143 -0.4575 0.4563 ⋯ 0.3530 -0.9296 0.3330 -0.8571 -0.6366 -0.2717 -0.4981 0.4985 -0.5360 -0.0456 -0.1724 0.3509 -0.3423 0.1666 -0.5106 0.5107 0.7448 0.1295 -0.8368 -0.3720 0.5712 0.8525 -0.5309 0.5315
E =8×1-2.4498 -2.1536 -1.6248 2.2279 2.0364 1.4752 0.3353 -0.3466
s =8×10.5813 0.8609 1.2232 0.7855 0.7012 1.2922 10.1097 10.0519

检查第一个特征值，E（1），第一个特征向量，x（：，1），满足QEP方程。结果接近但不完全是零。

lambda = e（1）;x = x（：，1）;（m*lambda^2 + c*lambda + k）*x
ans =4×110-13×-0.1688 0.0933 0.0977 0.0111

输入参数

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平方系数矩阵，指定为单独的参数。矩阵都必须具有相同的顺序，n。

数据类型：单身的|双倍的
复杂的数字支持：万博1manbetx是的

输出参数

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特征值，作为向量返回。

特征向量，在矩阵的列中返回。第一个特征向量是x（：，1），第二个是x（：，2）， 等等。

条件编号，返回为向量。条件编号s对应于类似位置的特征值e。较大的条件数字表明，该问题接近具有重复的特征值。

更多关于

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多项式特征值问题

多项式特征值问题是标准特征值问题的变体一种X=λX，而是涉及多项式而不是线性项。

与标准特征值问题一样，该解决方案涉及找到满足方程的特征值和特征向量，即

（（ 一种 0 + λ 一种 1 + … + λ p 一种 p ） X = 0 ，，，，

在多项式程度的情况下，p，是一个非负整数，并且A0，A1，... AP是正方形系数级矩阵n。

最常见的形式是二次多项式特征值问题，

（（ 一种 2 λ 2 + 一种 1 λ + 一种 0 ） X = 0 。

二次特征值问题与标准（或广义）特征值问题之间的一个主要区别是2n特征值2n左右特征向量。如果有不止n特征向量，特征向量不会形成线性独立的集合。看[1]和[2]有关二次特征值问题的更多详细信息。

尖端

  • Polyeig处理以下简化案例：

    • p = 0， 或者polyeig（a），是标准特征值问题，eig（a）。

    • p = 1， 或者Polyeig（A，B），是广义特征值问题，eig（a，-b）。

    • n = 0， 或者Polyeig（A0，A1，...，AP），是标准的多项式问题，根（[AP ... A1 A0]）， 在哪里A0，A1，...，AP是标量。

算法

这Polyeig函数使用QZ分解来在计算广义特征值的计算中找到中间结果。Polyeig使用中间结果来确定特征值是否确定。查看描述eig和QZ了解更多信息。

计算的解决方案可能不存在或万博 尤文图斯唯一，也可能在计算上不准确。如果两者A0和AP是奇异的矩阵，然后问题可能会不足。如果只有一个A0和AP是奇异的，那么一些特征值可能是0或者inf。

缩放A0，A1，...，AP具有规范（AI）大致等于1可能会提高准确性Polyeig。但是，总的来说，这种提高的准确性是无法实现的。（请参阅Tisseur[3]有关详细信息）。

参考

[1] Dedieu，Jean-Pierre和Francoise Tisseur。“均质多项式特征值问题的扰动理论。”线性代数应用。卷。358，2003，第71–94页。

[2] Tisseur，Francoise和Karl Meerbergen。“二次特征值问题。”暹罗修订版43，第2期，2001年，第235–286页。

[3] Francoise Tisseur。“多项式特征值问题的向后误差和条件。”线性代数应用。卷。309，2000，第339–361页。

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