用反斜杠()解一个有无穷多个解的线性方程组。万博 尤文图斯\),lsqminnorm．用解的两个范数比较结果。万博 尤文图斯

当存在无穷个解时万博 尤文图斯，每一个都最小化．反斜杠命令(\)计算一个这样的解决方案，但该解决方案通常不会最小化．解由lsqminnorm最小化不仅规范(*取向)，但也规范(x)．

考虑一个有一个方程和两个未知数的简单线性系统，．这个系统是欠定的因为方程比未知数少。用反斜杠和来解这个方程lsqminnorm．

A = [2 3];B = 8;x_a = A\b

x_a =2×10 2.6667

x_b = lsqminnorm(A,b)

x_b =2×11.2308 - 1.8462

这两种方法得到不同的解，因为反斜杠的目的只是最小化万博 尤文图斯规范(*取向),而lsqminnorm也是为了最小化规范(x)．计算这些规范并将结果放入表格中，以便于比较。

S1 = {“反斜杠”；“lsqminnorm”};S2 = {“norm_Ax_minus_b”，“norm_x”};T = table([norm(A*x_a-b);规范(* x_b-b)]、[规范(x_a);规范(x_b)),“RowNames”s1,“VariableNames”s2)

T =2×2表norm_Ax_minus_b norm_x  _______________ ______ 反斜杠0 2.6667 lsqminnorm 8.8818 e-16 2.2188

该图说明了这种情况，并显示了每个方法返回的解决方案。万博 尤文图斯蓝线表示这个方程的无穷多个解万博 尤文图斯．橙色圆圈表示从原点到解的直线的最小距离，以及由万博 尤文图斯lsqminnorm正好在直线和圆的切点上，说明它是离原点最近的解。

中指定排序计算的容差lsqminnorm可以帮助确定问题的规模，这样随机噪声就不会破坏解决方案。

创建一个秩为5的低秩矩阵和一个右侧向量b．

rng默认的再现性%U = randn(200,5);V = randn(100,5);A = u * v ';b = U*randn(5,1) + 1e-4*randn(2,1);

求解线性方程组使用lsqminnorm．计算的范数A *取向和x检查溶液的质量。

x = lsqminnorm(A,b);规范(*取向)

Ans = 0.0014

规范(x)

Ans = 0.1741

现在在矩阵中添加少量的噪声一个然后再解线性方程组。噪声影响解向量x线性系统的比例失调。

噪声= A + 1e-12*randn(200,100);xnoise = lsqminnorm(noise,b);范数(噪音*xnoise - b)

Ans = 0.0010

规范(xnoise)

Ans = 1.1217e+08

解差异大的原因是噪声影响了的低秩近似万博 尤文图斯一个．换句话说，lsqminnorm处理对角线上的小值R矩阵在QR中的分解一个比他们更重要。理想情况下，这些在对角线上的小值R应该被当作零来对待。

的对角线元素R矩阵在QR中的分解声音吵醒．大量的对角线元素的数量级为1e-10。

[Q,R,p] = qr(噪声，0);semilogy (abs(诊断接头(R)),“o”）

解决这一问题的办法是增加所使用的公差lsqminnorm这是一个低阶近似声音吵醒采用误差小于1e-8的方法进行计算。这使得结果更不容易受到噪声的影响。使用公差的解决方案非常接近原始解决方案x．

xnoise = lsqminnorm(noise, b, 1 -8);范数(噪音*xnoise - b)

Ans = 0.0014

规范(xnoise)

Ans = 0.1741

范数(x - xnoise)

Ans = 1.0816e-14

求解一个涉及低秩系数矩阵的线性系统，并打开警告。

创建一个秩为2的3 × 3矩阵。在这个矩阵中，可以通过将前两列相加得到第三列。

A = [1 2 3];4 5 9;[7]

一个=3×31 2 3 4 5 9 6 7 13

找到这个问题的最小范数最小二乘解,在那里等于里的第二列．指定“警告”国旗为lsqminnorm来显示一个警告，如果它检测到一个是低级的。

b = A(:，2);x = lsqminnorm(A,b，“警告”）

警告:秩不足，秩= 2,tol = 1.072041e-14。

x =3×1-0.3333 0.6667 0.3333