分解

求解线性系统的矩阵分解

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描述

分解创建可重用矩阵分解(LU、LDL、Cholesky、QR等)，使您能够解决线性系统(Ax = b或xA = b)更有效率。例如，计算之后dA =分解(一)调用dA \ b返回与。相同的向量一个\ b，但通常要快得多。分解对象非常适合解决需要重复解的问题，因为系数矩阵的分解不需要执行多次。万博尤文图斯

你可以用分解对象达有很多和原来系数矩阵一样的运算符一个：

复杂的共轭转置达的
否定- da
用一个标量乘或除c *哒或dA / c．
解线性方程组Ax = b使用x = dA \ b．
解线性方程组xA = b使用x = b /哒．

创建

语法

dA =分解(一)

dA =分解(类型)

dA =分解(类型,triangularFlag)

dA =分解(＿＿＿、名称、值)

描述

例子

达=分解(一个）返回矩阵的分解一个你可以用它更有效地解线性方程组。分解类型会根据输入矩阵的属性自动选择。

例子

达=分解(一个，类型）指定要执行的分解类型。类型可以“qr”，“鳕鱼”，“陆”，“低密度脂蛋白”，“胆固醇”，“三角”，“permutedTriangular”，“联合”，“hessenberg”,或“对角线”．

例子

达=分解(一个，类型，triangularFlag）的上或下三角形部分一个用于分解。triangularFlag可以“上”或“低”．使用这种语法，分解类型必须是“低密度脂蛋白”，“胆固醇”,或“三角”．

例子

达=分解(＿＿＿，名称,值）使用一个或多个指定其他选项名称,值使用任何前面的语法对参数进行配对。例如,dA =分解(“CheckCondition”,假)指定不基于的条件抛出警告一个而解决dA \ b．

输入参数

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`一个`- - - - - -系数矩阵
矩阵

系数矩阵。系数矩阵在线性方程组中出现在左边为Ax = b或者在右边xA = b．

数据类型:单|双
复数的支持:万博1manbetx是的

`类型`- - - - - -分解类型
`“汽车”`(默认)|`“qr”`|`“鳕鱼”`|`“陆”`|`“低密度脂蛋白”`|`“胆固醇”`|`“三角”`|`“permutedTriangular”`|`“联合”`|`“hessenberg”`|`“对角线”`

分解类型，指定为这些表中的选项之一。

这些选项适用于任何系数矩阵。

价值	矩阵的分解`一个`	笔记
`“汽车”`(默认)	N/A	根据系数矩阵的性质自动选择矩阵分解类型。有关如何选择分解的信息，请参阅算法的部分`mldivide`．
`“qr”`	$一个 P ＝问 R$ `问`是统一的,`R`是上三角形，和`P`是一个置换矩阵。	QR分解给出最小二乘解。如果`类型`是`“qr”`，则不能解`一个“\ B`或`B / A`．相反,使用`“鳕鱼”`那些表格的问题。
`“鳕鱼”`	$一个＝问 R Z^{＊}$ `R`是上三角形，两者都是`问`和`Z`有正交列。	完全正交分解给出一个最小范数最小二乘解。

价值

矩阵的分解一个

笔记

“汽车”(默认)

N/A

根据系数矩阵的性质自动选择矩阵分解类型。有关如何选择分解的信息，请参阅算法的部分mldivide．

“qr”

$一个 P ＝问 R$

问是统一的,R是上三角形，和P是一个置换矩阵。

QR分解给出最小二乘解。

如果类型是“qr”，则不能解一个“\ B或B / A．相反,使用“鳕鱼”那些表格的问题。

“鳕鱼”

$一个＝问 R Z^{＊}$

R是上三角形，两者都是问和Z有正交列。

完全正交分解给出一个最小范数最小二乘解。

为广场系数矩阵，你也可以使用这些选项。

价值	矩阵的分解`一个`	笔记
`“陆”`	密度矩阵: $P 一个＝ l U$ `l`下三角,`U`是上三角形，和`P`是一个置换矩阵。稀疏矩阵: $P （ R ＼一个）问＝ l U$ `P`和`问`排列矩阵和`R`是一个对角线缩放矩阵。
`“低密度脂蛋白”`	密度矩阵: $P^{＊} 一个 P ＝ l D l^{＊}$ `l`是一个对角线上有1s的下三角矩阵，`D`是对角矩阵吗`P`是一个置换矩阵。稀疏矩阵: $P^{＊} 年代一个年代 P ＝ l D l^{＊}$ `年代`是一个比例矩阵。	`一个`必须是对称的。
`“胆固醇”`	密度矩阵: $一个＝ l l^{＊}$ `l`三角形的低。稀疏矩阵: $一个＝ P l l^{＊} P^{＊}$ `P`是一个置换矩阵。	`一个`必须是对称正定的。
`“三角”`	$一个＝ T$ `T`是三角形的。	`一个`必须是三角形的。
`“permutedTriangular”`	$一个＝ P T 问^{＊}$ `T`是三角形，两者都是`P`和`问`是排列矩阵。	`一个`一定是一个三角形矩阵的排列。
`“联合”`	$一个＝ P^{＊} l U$ `P`是一个置换矩阵吗`l`和`U`带状。	对于带宽较低的矩阵最有效。看到`带宽`为更多的信息。
`“hessenberg”`	$一个＝ P^{＊} l U$ `P`是一个置换矩阵，`l`是带状,`U`是上三角。	`一个`第一个子对角线下面必须有0。
`“对角线”`	$一个＝ D$ `D`是斜的。	`一个`必须对角线。

`triangularFlag`- - - - - -标志只使用系数矩阵的上或下三角部分
`“上”`|`“低”`

标志只使用系数矩阵的上三角部分或下三角部分，指定为“上”或“低”．此选项支持万博1manbetx“三角”，“胆固醇”,“低密度脂蛋白”分解类型。

“三角”-如果一个上三角形矩阵和一个下三角形矩阵存储在同一个矩阵中，则使用triangularFlag只指定一个三角矩阵。
“胆固醇”和“低密度脂蛋白”——使用triangularFlag为了避免近似对称系数矩阵的对称。

名称-值对的观点

指定可选的逗号分隔的对名称,值参数。的名字参数名和价值为对应值。的名字必须出现在单引号内(' ')．可以以任意顺序指定多个名称和值对参数Name1, Value1,…,的家．

例子:dA =分解(‘qr’,‘CheckCondition’,假)的QR分解一个并在求解线性方程组时对系数矩阵的条件提出了警告。

一般参数

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`“CheckCondition”`- - - - - -切换到系数矩阵的检查条件
`真正的`(默认)|`假`

切换到检查系数矩阵的条件，指定为逗号分隔对组成“CheckCondition”和逻辑1（真正的)或逻辑0（假)．如果CheckCondition是真正的而系数矩阵条件差或秩低时，则用该方法求解线性方程组mldivide (\)或mrdivide (/)产生警告。

数据类型:逻辑

`“RankTolerance”`- - - - - -排名宽容
负的标量

等级公差，指定为非负标量。指定公差可以帮助防止解决方案容易受到系数矩阵中的随机噪声的影响。

分解计算的秩一个的对角线元素的数量RQR分解的矩阵(Q, R, p) = qr (A, 0)绝对值大于托尔．如果一个是k的低阶近似一个是由第一项相乘形成的k列问由第一个k行R．改变容差会影响这个低阶近似一个．

请注意

此选项仅适用于以下情况“类型”是“qr”或“鳕鱼”,或者当“类型”是“汽车”和一个是长方形的。否则，该选项将被忽略。

稀疏矩阵的参数

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`“BandDensity”`- - - - - -带密度阈值
`0．5`(默认)|标量

频带密度阈值，指定为范围内的标量值[0 1]．的价值“BandDensity”确定一个稀疏的，带状系数矩阵必须是密集的带状求解器使用mldivide (\)或mrdivide (/)当解方程组时。

频带密度定义为:(频带中的#非零)/(全频带中的#非零)。的值1．0指示永不使用带状求解器。

`“LDLPivotTolerance”`- - - - - -LDL因子分解的枢轴耐受
`0．01`(默认)|标量

LDL因子分解的支点耐受性，指定为区间内的标量值0.5 [0]．使用更小的轴公差值可以提供更快的分解时间和更少的条目，但也可能导致更不稳定的分解。

这个枢轴公差和低密度脂蛋白用于实稀疏矩阵。

`“LUPivotTolerance”`- - - - - -LU分解的枢轴公差
`(0.1 - 0.001)`(默认)|标量|向量

逻辑单元分解的枢轴公差，指定为标量或向量。指定一个标量值以更改公差向量中的第一个元素，或指定一个双元素向量以更改两个值。较小的枢轴公差往往导致更稀疏的LU因素，但解决方案可能会变得不准确。较大的值可以得到更精确的解决方案，但并不总是如此，并且通常会增加总工作量和内存使用量。

这个枢轴公差和陆用于稀疏矩阵。

属性

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`MatrixSize`- - - - - -系数矩阵大小
向量

此属性是只读的。

系数矩阵的大小，作为两个元素的行向量返回。

数据类型:双

`类型`- - - - - -分解类型
`“qr”`|`“鳕鱼”`|`“陆”`|`“低密度脂蛋白”`|`“胆固醇”`|`“三角”`|`“permutedTriangular”`|`“联合”`|`“hessenberg”`|`“对角线”`

此属性是只读的。

分解类型，返回为“qr”，“鳕鱼”，“陆”，“低密度脂蛋白”，“胆固醇”，“三角”，“permutedTriangular”，“联合”，“hessenberg”,或“对角线”．

数据类型:字符

`CheckCondition`- - - - - -切换到系数矩阵的检查条件
`真正的`(默认)|`假`

切换到检查系数矩阵的条件，指定为任一逻辑1（真正的)或逻辑0（假)．如果CheckCondition是真正的而系数矩阵条件差或秩低时，则用该方法求解线性方程组mldivide (\)或mrdivide (/)产生警告。

数据类型:逻辑

`数据类型`- - - - - -系数矩阵的数据类型
`“双”`|`“单一”`

此属性是只读的。

系数矩阵的数据类型，返回为“双”或“单一”．

数据类型:字符

`IsConjugateTransposed`- - - - - -表明系数矩阵是复共轭转置的
`假`(默认)|`真正的`

此属性是只读的。

指示系数矩阵是复共轭转置，返回为任一逻辑1（真正的)或逻辑0（假)．这个指标是假默认情况下分解由系数矩阵构造的对象。但取值为真正的如果你使用ctranspose操作员在分解表达式中的对象，例如dA’\ b．在这种情况下,达的都是一样的分解对象作为达，但其值为真正的为IsConjugateTransposed．

数据类型:逻辑

`伊斯雷尔`- - - - - -表示系数矩阵为实数
`真正的`|`假`

此属性是只读的。

指示系数矩阵是实数，返回为任一逻辑1（真正的)或逻辑0（假)．的值假表示系数矩阵包含复数。

数据类型:逻辑

`IsSparse`- - - - - -表示系数矩阵是稀疏的
`真正的`|`假`

此属性是只读的。

指示系数矩阵是稀疏的，返回为任一逻辑1（真正的)或逻辑0（假)．

数据类型:逻辑

`ScaleFactor`- - - - - -系数矩阵的乘法比例因子
`1`(默认)|标量

此属性是只读的。

系数矩阵的乘比例因子，返回为标量。的默认值1表示系数矩阵没有缩放。然而，当你乘或除分解对象的值ScaleFactor的变化。例如,3 *哒是一个分解对象相当于达，但其值为3.为ScaleFactor．

数据类型:双
复数的支持:万博1manbetx是的

对象的功能

可以使用的主要函数和操作符分解对象与求解线性方程组有关。

`ctranspose`	复杂的共轭转置
`mldivide`	求x的线性方程组Ax = B
`mrdivide`	解x的线性方程组xA = B
`isIllConditioned`	确定矩阵是否处于病态状态

您还可以检查的基础矩阵的条件数或秩分解对象。由于采用了不同的算法，使用这些函数的结果分解对象可以不同于直接在系数矩阵上使用相同的函数。

`排名`	只有1输入表单`排名(dA)`是支持万博1manbetx的。分解类型必须为`“qr”`或`“鳕鱼”`．等级的值取决于选择`RankTolerance`如果指定。
`rcond`	运行相同的条件检查反斜杠`＼`用于确定是否发出警告。万博1manbetx支持所有分解类型，除了`“qr”`和`“鳕鱼”`．

例子

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求解具有多个右手边的线性方程组

打开生活的脚本

展示如何使用分解对象可以提高求解效率右边有很多。

的逆迭代是一种迭代特征值算法，用于求解具有多个右侧的线性方程组。它是一种从猜测对应特征向量开始迭代计算矩阵特征值的方法。每次迭代计算x = x \，然后缩放x的规范。

创建一个稀疏矩阵一个和随机的起始向量x1和x2．

n = 1 e3;rng默认的%的再现性A = sprandn(n,n,0.2) + speye(n);x1 = randn (n, 1);x1, x2 =

使用反斜杠反迭代算法进行100次迭代，计算特征值一个．

抽搐为i=1:100 x1 = A \ x1;X1 = X1 /模(X1);结束toc

运行时间为27.835561秒。

λ= x1‘* * x1

λ= -0.6707

现在使用一个分解对象来解决相同的问题。

tic dA =分解(A);为x =1, x =1;X2 = X2 /模(X2);结束toc

运行时间为1.831414秒。

λ= x2的* * x2

λ= -0.6707

由于矩阵的存在，算法的性能得到了极大的提高一个不需要在每次迭代期间被分解。此外，即使反斜杠算法可以通过执行LU分解来改进一个之前为循环,分解对象提供访问所有相同的性能增益，而不需要编写复杂的代码。

选择分解类型

打开生活的脚本

选择一个分解类型以覆盖基于输入矩阵的自动默认选择。

创建一个系数矩阵，并使用默认的分解类型选择分解矩阵。

一个= 1 (3);dA =分解(一)

[3 3] Type: 'ldl'显示所有属性

用右边的1向量解线性方程组。

b = 1 (3,1);x = dA \ b

警告:矩阵的工作精度是单一的。

x =3×1南南南

指定要使用的分解类型“qr”方法，而不是默认方法“低密度脂蛋白”方法。这迫使反斜杠(\)找到问题的最小二乘解，而不是返回的向量南年代。

dA_qr =分解(,“qr”）

dA_qr = decomposition with properties: MatrixSize: [3 3

x = dA_qr \ b

警告:Rank deficient, Rank = 1, tol = 1.153778e-15。

x =3×11 0 0

使用矩阵的三角形部分

打开生活的脚本

指定“上”在分解中只使用输入矩阵的上三角部分。

创建一个系数矩阵。仅使用上三角部分构造矩阵的三角分解。这个选项在上三角形和下三角形矩阵存储在同一个矩阵的情况下是有用的。

A = randi([0 5]，10)

一个=10×104 0 1 2 3 4 5 2 0 5 5 0 0 1 2 4 1 1 4 0 0 5 5 4 3 2 3 4 3 3 5 5 0 4 0 4 1 3 4 3 4 4 0 1 0 5 5 5 5 0 0 4 4 2 2 5 4 2 1 0 1 2 4 2 5 3 1 5 4 3 3 2 1 3 2 0 1 4 2 5 4 3 2 5 4 3 0 3 0 5 5 1 0 4 1 1 2 3 2

dA =分解(,“三角”，“上”）

Type: ' triangle '显示所有的属性

关闭矩阵条件警告

打开生活的脚本

使用“CheckCondition”借助于名值对关闭警告条件下的系数矩阵求解线性系统时使用分解．

创建一个病态的系数矩阵。在这个矩阵中，将前两列相加求平均得到第三列。

A = [1 2 1.5;3 4 3.5;5 6 5.5)

一个=3×31.0000 2.0000 1.5000 3.0000 4.0000 3.5000 5.0000 6.0000 5.5000

解线性方程组右边用一个1s的向量。mldivide产生一个关于系数矩阵条件的警告。

b = 1 (3,1);x = A \ b

警告:矩阵是接近单数或严重缩放。结果可能不准确。RCOND = 1.850372 e-17。

x =3×1-0.6250 1.3750 -0.7500

现在创建一个分解对象为矩阵，并求解相同的线性方程组。指定“CheckCondition”作为假这mldivide不检查系数矩阵的条件。即使返回的是相同的解，mldivide不显示警告信息。

dA =分解(,“CheckCondition”、假);x = dA \ b

x =3×1-0.6250 1.3750 -0.7500

使用isIllConditioned命令，检查分解对象基于病态矩阵。

tf = isIllConditioned (dA)

tf =逻辑1

另请参阅

lsqminnorm|mldivide|mrdivide

主题

线性方程组

介绍了R2017b

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分解

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输入参数

一个- - - - - -系数矩阵矩阵

类型- - - - - -分解类型“汽车”(默认)|“qr”|“鳕鱼”|“陆”|“低密度脂蛋白”|“胆固醇”|“三角”|“permutedTriangular”|“联合”|“hessenberg”|“对角线”

triangularFlag- - - - - -标志只使用系数矩阵的上或下三角部分“上”|“低”

名称-值对的观点

一般参数

“CheckCondition”- - - - - -切换到系数矩阵的检查条件真正的(默认)|假

“RankTolerance”- - - - - -排名宽容负的标量

请注意

稀疏矩阵的参数

“BandDensity”- - - - - -带密度阈值0．5(默认)|标量

“LDLPivotTolerance”- - - - - -LDL因子分解的枢轴耐受0．01(默认)|标量

“LUPivotTolerance”- - - - - -LU分解的枢轴公差(0.1 - 0.001)(默认)|标量|向量

属性

MatrixSize- - - - - -系数矩阵大小向量

类型- - - - - -分解类型“qr”|“鳕鱼”|“陆”|“低密度脂蛋白”|“胆固醇”|“三角”|“permutedTriangular”|“联合”|“hessenberg”|“对角线”

CheckCondition- - - - - -切换到系数矩阵的检查条件真正的(默认)|假

数据类型- - - - - -系数矩阵的数据类型“双”|“单一”

IsConjugateTransposed- - - - - -表明系数矩阵是复共轭转置的假(默认)|真正的

伊斯雷尔- - - - - -表示系数矩阵为实数真正的|假

IsSparse- - - - - -表示系数矩阵是稀疏的真正的|假

ScaleFactor- - - - - -系数矩阵的乘法比例因子1(默认)|标量

对象的功能

例子

求解具有多个右手边的线性方程组

选择分解类型

使用矩阵的三角形部分

关闭矩阵条件警告

另请参阅

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介绍了R2017b

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`一个`- - - - - -系数矩阵
矩阵

`类型`- - - - - -分解类型
`“汽车”`(默认)|`“qr”`|`“鳕鱼”`|`“陆”`|`“低密度脂蛋白”`|`“胆固醇”`|`“三角”`|`“permutedTriangular”`|`“联合”`|`“hessenberg”`|`“对角线”`

`triangularFlag`- - - - - -标志只使用系数矩阵的上或下三角部分
`“上”`|`“低”`

`“CheckCondition”`- - - - - -切换到系数矩阵的检查条件
`真正的`(默认)|`假`

`“RankTolerance”`- - - - - -排名宽容
负的标量

`“BandDensity”`- - - - - -带密度阈值
`0．5`(默认)|标量

`“LDLPivotTolerance”`- - - - - -LDL因子分解的枢轴耐受
`0．01`(默认)|标量

`“LUPivotTolerance”`- - - - - -LU分解的枢轴公差
`(0.1 - 0.001)`(默认)|标量|向量

`MatrixSize`- - - - - -系数矩阵大小
向量

`类型`- - - - - -分解类型
`“qr”`|`“鳕鱼”`|`“陆”`|`“低密度脂蛋白”`|`“胆固醇”`|`“三角”`|`“permutedTriangular”`|`“联合”`|`“hessenberg”`|`“对角线”`

`CheckCondition`- - - - - -切换到系数矩阵的检查条件
`真正的`(默认)|`假`

`数据类型`- - - - - -系数矩阵的数据类型
`“双”`|`“单一”`

`IsConjugateTransposed`- - - - - -表明系数矩阵是复共轭转置的
`假`(默认)|`真正的`

`伊斯雷尔`- - - - - -表示系数矩阵为实数
`真正的`|`假`

`IsSparse`- - - - - -表示系数矩阵是稀疏的
`真正的`|`假`

`ScaleFactor`- - - - - -系数矩阵的乘法比例因子
`1`(默认)|标量