特征值分解

一个特征值而且特征向量一个方阵的一个分别是标量吗λ一个非零向量υ满足

用对角矩阵Λ对角线上的特征值和对应的特征向量组成矩阵的列V,你有

如果V是非奇异的，这就变成了特征值分解

的系数矩阵提供了一个很好的例子常微分方程在前一节中:

A = 0 -6 -16 2 -16 -5 20 -10

该声明

λ=eig(一)

生成包含特征值的列向量。对于这个矩阵，特征值是复的:

Lambda = -3.0710 -2.4645+17.6008i -2.4645-17.6008i

每个特征值的实部是负的，所以e^λt接近零t增加。两个特征值的非零虚部，±ω，贡献振荡成分sin(ωt)，到微分方程的解。

有了两个输出参数，eig计算特征向量并将特征值存储在对角矩阵中:

[V,D] = eig(A) V = -0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i -0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i -0.4248 -0.6930 -0.6930 D = -3.0710 00 0 -2.4645+17.6008i 00 0 -2.4645-17.6008i

第一个特征向量是实数另外两个向量是彼此的复共轭。这三个向量都被归一化得到欧氏长度，规范(v, 2)等于1。

矩阵V * D *发票(V)，可以更简洁地写为V * D / V的四舍五入误差一个．而且,发票(V) * * V,或V \ * V的四舍五入误差D．

多个特征值

有些矩阵没有特征向量分解。这些矩阵是不可对角化的。例如:

A = [1 -2 1 0 1 4 0 0 3]

对这个矩阵

[V D] = eig (A)

生产

V = 1.0000 1.0000 -0.5571 0 0.0000 0.7428 00 0.3714 d = 1 0000 1 000 3

有一个双特征值λ= 1。的第一和第二列V都是一样的。对于这个矩阵，不存在线性无关的特征向量的完整集合。

舒尔分解

MATLAB^®高级矩阵计算不需要特征值分解。相反，它们是基于Schur分解的

在哪里U是一个正交矩阵和年代是对角线上有1 × 1和2 × 2块的块上三角形矩阵。的对角线元素和块显示特征值年代，而列U提供一个比特征向量集合更好的数值性质的基。这个缺陷例子的Schur分解是

[U S] =舒尔(a) u = -0.4741 0.6648 0.5774 0.8127 0.0782 0.5774 -0.3386 -0.7430 0.5774 s = -1.0000 20.7846 -44.6948 0 1.0000 -0.6096 00 1.0000

的2 × 2块中包含双特征值年代．